Boole, Turing. Lo decidible

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Sea X un conjunto. Este es el inicio de toda la ciencia matemática. Diremos que a es un elemento de X, si a está contenido en X. Observesé que no podemos empezar diciendo que X es aquello que está compuesto de elementos, porque entonces, habría que definir qué es un elemento. Clásicamente se hacía así. Por ejemplo, Euclides empieza en Los Elementos definiendo la noción de punto, como aquello sin partes. Pero, ¡caray! ¿qué es una parte?. Euclides, lo que hacía sin ser consciente, era fijar previamente el universo, que para él era el espacio tridimensional. Entonces, cuando dice partes se refiere a las dimensiones. Un punto es un objeto del universo sin dimensiones. Ahora sí.

Sea X es un conjunto. Supongamos que tiene un número finito de elementos. Definición. Diremos que X es un álgebra de Boole si cumple lo siguiente:

• hay una relación de orden que llamaremos <=, de manera que dados dos elementos a y b, ó bien a<=b, ó bien b<=a
• hay un máximo I y un mínimo O. Definidos como aquellos elementos tales que a<=I, O<=a, para todo a.
• hay dos operaciones, la unión U y la intersección INT de elementos, de manera que:
  a<=b sí y sólo sí aUb=b.
• cada elemento a tiene un complementario NOT(a) tal que:
  • a U NOT(a)=I
  • a INT NOT(a)=O

Las álgebras de Boole, reciben su nombre de un matemático genial, George Boole, una persona extraordinariamente culta. El objetivo de Boole era reducir la lógica a ecuaciones algebraicas. Su genial método fue estudiar los operadores unión U e intersección INT, definidos arriba. Estos son un puente entre los elemenos, {ó, y}, en el lenguaje lógico y los operadores {+,x} en el lenguaje algebraico.  Aquí viene la maravilla.

Teorema: No hay más que un álgebra de Boole, las sucesiones de ceros y unos.

¿Os suena? Boole, es el padre del lenguaje computacional.

Una máquina de Turing es es una abstracción matemática compuesta de un número finito de estados y una cinta infinita con símbolos que provienen de un alfabeto finito que pueden ser escritos o leidos usando un cabezal móvil y una función de transición que especifica el siguiente estado en términos del actual y de lo que apunta el cabezal. Recibe su nombre del matemático Turing. Su tesis fundamental es:

 Tesis Church-Turing: Una máquina de Turing es equivalente a un algoritmo.

Es decir, un problema se resuelve con un ordenador doméstico sí y sólo sí admite ser tratado en la máquina de Turing, si y sólo si se puede expresar como un algoritmo. Como matemáticos, una de las preguntas que se hicieron Church y Turing y que venía desde Leibniz, era si se podían reducir las matemáticas a la computación. Querían saber si se podía decidir si el enunciado de una proposición matemática era un teorema verdadero o una proposición falsa. Este problema se llamó Entscheidungsproblem (problema de la decisión) y demostraron que no: las matemáticas, son algo más que un algoritmo.

La respuesta de Podemos y del PSOE catalán sobre la independencia no es ni sí, ni no. A esto lo llaman derecho a decidir. Si la independencia fuera algo decidible, esto sería similar a que los ordenadores, no sólo tuvieran ceros y unos, sino también 1/2.

Sólo se pueden decidir las cuestiones que admiten una lógica, es decir un lenguaje computacional Booleano. Son cuestiones que pueden ser tratadas en una máquina de Turing. Es decir, en un ordenador. ¿En qué ordenador sale que se pueda decidir o no la independencia de Cataluña?, ¿qué proceso lógico lleva a esta decisión? Ninguno. España es algo más que un algoritmo. La independencia de Cataluña es algo sobre lo que no se puede decidir.

Referencias:

Este trabajo de Luis Ángel Calvo Pascual está protegido bajo licencia Atribución Creative Commons-NonCommercial-NoDerivs 4.0 Internacional Los permisos mas allá del ámbito de esta licencia pueden estar disponibles en https://www.diarioerc.com/aviso-legal/