Boole, Turing. Lo decidible.

7

LUIS ÁNGEL CALVO PASCUAL

Sea X un conjunto. Este es el inicio de toda la ciencia matemática. Diremos que a es un elemento de X, si a está contenido en X. Observesé que no podemos empezar diciendo que X es aquello que está compuesto de elementos, porque entonces, habría que definir qué es un elemento. Clásicamente se hacía así. Por ejemplo, Euclides empieza en Los Elementos definiendo la noción de punto, como aquello sin partes. Pero, ¡caray! ¿qué es una parte?. Euclides, lo que hacía sin ser consciente, era fijar previamente el universo, que para él era el espacio tridimensional. Entonces, cuando dice partes se refiere a las dimensiones. Un punto es un objeto del universo sin dimensiones. Ahora sí.

Sea X es un conjunto. Supongamos que tiene un número finito de elementos. Definición. Diremos que X es un álgebra de Boole si cumple lo siguiente:

  • hay una relación de orden que llamaremos <=, de manera que dados dos elementos a y b, ó bien a<=b, ó bien b<=a
  • hay un máximo I y un mínimo O. Definidos como aquellos elementos tales que a<=I, O<=a, para todo a.
  • hay dos operaciones, la unión U y la intersección INT de elementos, de manera que:
    a<=b sí y sólo sí aUb=b.
  • cada elemento a tiene un complementario NOT(a) tal que:
    • a U NOT(a)=I
    • a INT NOT(a)=O

Las álgebras de Boole, reciben su nombre de un matemático genial, George Boole, una persona extraordinariamente culta. El objetivo de Boole era reducir la lógica a ecuaciones algebraicas. Su genial método fue estudiar los operadores unión U e intersección INT, definidos arriba. Estos son un puente entre los elemenos, {ó, y}, en el lenguaje lógico y los operadores {+,x} en el lenguaje algebraico.  Aquí viene la maravilla.

Teorema: No hay más que un álgebra de Boole, las sucesiones de ceros y unos.

¿Os suena? Boole, es el padre del lenguaje computacional.

Una máquina de Turing es es una abstracción matemática compuesta de un número finito de estados y una cinta infinita con símbolos que provienen de un alfabeto finito que pueden ser escritos o leidos usando un cabezal móvil y una función de transición que especifica el siguiente estado en términos del actual y de lo que apunta el cabezal. Recibe su nombre del matemático Turing. Su tesis fundamental es:

 Tesis Church-Turing: Una máquina de Turing es equivalente a un algoritmo.

Es decir, un problema se resuelve con un ordenador doméstico sí y sólo sí admite ser tratado en la máquina de Turing, si y sólo si se puede expresar como un algoritmo. Como matemáticos, una de las preguntas que se hicieron Church y Turing y que venía desde Leibniz, era si se podían reducir las matemáticas a la computación. Querían saber si se podía decidir si el enunciado de una proposición matemática era un teorema verdadero o una proposición falsa. Este problema se llamó Entscheidungsproblem (problema de la decisión) y demostraron que no: las matemáticas, son algo más que un algoritmo.

La respuesta de Podemos y del PSOE catalán sobre la independencia no es ni sí, ni no. A esto lo llaman derecho a decidir. Si la independencia fuera algo decidible, esto sería similar a que los ordenadores, no sólo tuvieran ceros y unos, sino también 1/2.

Sólo se pueden decidir las cuestiones que admiten una lógica, es decir un lenguaje computacional Booleano. Son cuestiones que pueden ser tratadas en una máquina de Turing. Es decir, en un ordenador. ¿En qué ordenador sale que se pueda decidir o no la independencia de Cataluña?, ¿qué proceso lógico lleva a esta decisión? Ninguno. España es algo más que un algoritmo. La independencia de Cataluña es algo sobre lo que no se puede decidir.

 

Referencias:

[1] A. Turing, On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 42 (1936), pp 230 – 265.
[2] R. Lahoz-BeltraTuring. Del primer ordenador a la inteligencia artificial.  Nivola. (2009). 
[3] G. Boole, An Investigation of the Laws of Thought. Prometheus Books. (2013)

0 0 voto
Valoración
Creative Commons License

Este trabajo de Luis Ángel Calvo Pascual está protegido bajo licencia Atribución Creative Commons-NonCommercial-NoDerivs 4.0 Internacional Los permisos mas allá del ámbito de esta licencia pueden estar disponibles en https://www.diarioerc.com/aviso-legal/

No hay publicaciones para mostrar

Suscripción
Notificar si
7 Comentarios
mas antiguos
nuevos mas valorados
Comentarios en línea
Ver todos los comentarios
Pedro Durán

D. Luis Angel, creo que la lógica matemática no tiene nada que ver con todo esto, más bien lo contrario. Es una cuestión de derecho y lo que no existe es ese derecho, pero como la ley surge del derecho, puede darse aunque muy remotamente (o no, hasta ahí no llego), que el ejecutivo de España, que es el que redacta la ley para que se apruebe en el legislativo (que como todos los que por aquí andamos entendemos, emana del Ejecutivo), tome la iniciativa para concederle ese privilegio a Cataluña, al País Vasco y puestos a Extremadura. Como poder se puede llegar a ese extremo.
Eso he entendido yo, el derecho de libre determinación o de autodeterminación para Cataluña no existe, pero si para las colonias, según Resoluciones de la ONU.

Saludos.

Pedro Durán

Entiendo, tan solo quería que se distinguiera entre lo formal y lo material. Materialmente Cataluña si se puede independizar pero materialmente no.

Un saludo

Daniel

Todo esto para decir que estudiaste una carrera tecnica? Vaya pedanteria.

Michat

Hola a todos. @Luis Ángel Calvo Pascual. Gracias, por tomarte el tiempo de escribir el artículo, por hablar de Lógica y de Mátematica. Sin duda alguna lo que ha sucedido en Catalunya no entraba en lógica , ni cumple la del derecho ni la lógica formal del lenguaje, en ambos casos, el método propuesto indíca el truco en el planteamiento que no cumple ni lógica ni forma. Por tanto nula pues ni han sido unas elecciones, ni tampoco un plebiscito (eleccion-decisión). Ahora bien la situacion material resultante está basada en esta mentira, representa el estado de la pólitica en España y en concreto en Catalunya, la busqueda del control del poder por todos los medios. Incluyendo programación de mentes, su minería y explotación. Si aplicaramos la lógica computacional con rigor podriamos decir que Más no cumple con el test de turing. Pero ni él ni todos los de más y demás. Esto solo tiene explicación con La Trevijana en la mano, esa estrella de guía, que apunta certera y pulsa. Sin duda sus pronosticos se han cumplido. Siendo conscientes de ellos sería conveniente que nos alejasemos de falsos dilémas, dieramos la espalda a la mentira y protagonizemos acción civíl con todo lo que tengamos a nuestro alcanze, es decir la razón concretamente el pensar, pues hay una falsa adopción en imponer razón como concepto supíno de pensar que en uno reside la clave racional. Pues bien, si sabemos que es mentira pongamonos en disposición razonada, pues sabiendo la verdad no necesitamos más que seguir nuestro camino y avanzar en voluntad. Respecto a la lógica booleana, estoy de acuerdo contigo. Faltando a la tablas de la verdad, no podríamos llegar a un punto intermedio, estoy de acuerdo contigo y sería algo así como hacerse trampas a uno mismo. Otrora, es cierto que la teoría del juego impera por doquier, nos ha tocado el gordo de la deuda, pues son muy listos y poco inteligentes. ( Loterías con Rajoy ) Por otro lado he tenido el atrevimiento de perfeccionar la Teoría pura de la Républica, en su división funcional y llegar a unas definiciones formales fundamentales de las que carecíamos, basadas en la programación funcional. En un momento oportuno me gustaria compartirlo con AGTF . Y aunque tuve la ocasión de estar con él en Madrid, no era el momento adecuado, pues ello acumularía cansancio en él por su larga jornada de… Leer más »